Wärme ist kostbar. Wenn es ringsherum kalt ist, geht sie schnell verloren. Dieses Problem besteht bei den Isolierflaschen nicht, die eine zentrale Rolle im folgenden Rätsel spielen. Es gibt drei Flaschen: Zwei sind mit je einem Liter gefüllt, die dritte größere Flasche besteht aus zwei getrennten Kammern mit Platz für je einen Liter.
Die Flaschen sind nach außen perfekt isoliert. Die Trennwand in der großen Flasche leitet hingegen Wärme sehr gut. Füllt man etwa links warmes und rechts kaltes Wasser ein, hat das Wasser auf beiden Seiten nach kurzer Zeit dieselbe Temperatur.
In der linken Flasche befindet sich ein Liter blau gefärbtes Wasser mit einer Temperatur von 20 Grad. In der mittleren Flasche ist ein Liter rot gefärbtes Wasser mit 40 Grad.
Was müssen Sie tun, damit der blau gefärbte Liter Wasser wärmer ist als der rot gefärbte?
Hinweise: Die Flüssigkeiten sollen sich am Ende wieder in den beiden Literflaschen befinden. Sie dürfen rot und blau gefärbtes Wasser nicht miteinander mischen. Ein Wärmeaustausch findet nur innerhalb der Flaschen statt. Die beiden Kammern der großen Flasche lassen sich getrennt voneinander leeren. Eine Flasche leert sich vollständig, wenn Sie ihren Inhalt in eine andere Flasche füllen.
Der Wärmetausch ist tatsächlich möglich! Folgende Lösung erfordert sechs Schritte:
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Wir füllen das rote, warme Wasser vollständig in eine Kammer der großen Flasche.
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Wir füllen einen kleinen Teil des kalten blauen Wassers in die andere Kammer der großen Flasche. Das Wasser auf beiden Seiten hat dann eine Temperatur knapp unter 40 Grad.
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Wir füllen die blaue Flüssigkeit in die leere Ein-Literflasche, in der sich anfangs das warme rote Wasser befunden hat.
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Jetzt kommt das in der Ein-Literflasche links verbliebene blaue Wasser in die leere Kammer der großen Flasche. Die rote Flüssigkeit (exakt ein Liter) und die blaue (etwas weniger als ein Liter) haben danach dieselbe Temperatur. Diese liegt unterhalb der Temperatur der geringen Menge blauen Wassers, das wir zuvor in die leere Flasche gekippt haben.
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Wir schütten das rote Wasser zurück in die leere Ein-Literflasche links.
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Wir kippen das blaue Wasser (weniger als ein Liter) zurück in die Flasche, in der sich das wärmere blaue Wasser befindet. Durch das Mischen ergibt sich eine höhere Temperatur als beim Liter roten Wassers in der anderen Flasche.
Natürlich können wir die Temperaturen auch genau ausrechnen. x ist die Menge blauen Wassers, die wir in Schritt 2 in die große Flasche füllen. Ist die Menge beispielsweise ein zehntel Liter, gilt x = 1/10. Die Einheit Liter lassen wir weg, ebenso die Einheit Grad. T2 ist die Temperatur nach Schritt 2, T4 ist die Temperatur nach Schritt 4 (= Endtemperatur rot), T6 nach Schritt 6 (= Endtemperatur blau). Dann gilt:
T2 = (1*40 + x*20) / (1 + x)
T2 = (40 + x*20) / (1 + x)
T4 = (T2 + (1 – x)*20) / (1 + 1 – x)
T4 = (T2 + (1 – x)*20) / (2 – x)
T6 = (x*T2 + (1 – x)*T4) / (x + 1 – x)
T6 = x*T2 + (1 – x)*T4
Wir setzen für x = 1/10 ein und erhalten:
T2 = 38,18..
T4 = 29,57..
T6 = 30,43..
Das blaue Wasser hat etwas mehr als 30 Grad, das rote etwas weniger!
Entdeckt habe ich dieses Rätsel auf dem Instagram-Kanal des US-Mathematikers Marc Ordower .
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Originally published at Der Spiegel
